Определитель и его свойства

Пусть $A$ - квадратная $n \times n$-матрица над полем $F$. Тогда её **определитель**: $$\det A = \sum_{\sigma \in S_{n}} (-1)^{\sigma} \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$$ Где: - $S_n$ — все перестановки степени $n$ - $(-1)^{\sigma}$ — знак перестановки ($+1$ для чётных, $-1$ для нечётных)

1. $\det A = \det A^{T}$ 2. Если умножить строку $A$ на скаляр $\lambda$, то определитель полученной матрицы = $\lambda \cdot \det A$ 3. Если матрица содержит нулевую строку, $\det A = 0$ 4. При перестановке 2 строк меняется знак определителя 5. Если две строки $A$ равны, то $\det A = 0$ 6. Определитель не меняется, если прибавить к одной строке другую, умноженную на $\lambda$ 7. $\begin{vmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \dots \\ b_{i} + c_{i} \\ \dots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \dots \\ b_{i} \\ \dots \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \dots \\ c_{i} \\ \dots \end{vmatrix}$ 8. Если в $A$ есть пропорциональные строки, то $\det A = 0$ (свойства 2 + 6) 9. Если $A$ - верхне-треугольная, то $\det A = \prod\limits_{i = 1}^{n} a_{ii}$

$$\det A = \det A^\top$$

$B = A^\top$, тогда $b_{i j} = a_{j i}$ $$ \begin{aligned} \det A &= \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^\sigma \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} \\ &= \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^\sigma \prod_{j=1}^n a_{\sigma^{-1}(j),j} \quad \text{(замена } j = \sigma(i)) \\ &= \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma ^{-1}} \prod_{j=1}^n a_{\sigma^{-1}(j),j} \\ &= \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{^{\sigma ^{-1}}} \prod_{j=1}^n b_{j,\sigma^{-1}(j)} \\ &= \det A^\top \end{aligned} $$ $\square$

Умножение всех элементов строки или столбца на $\alpha$ равносильно умножению определителя на $\alpha$: $$ \begin{vmatrix} \alpha a_{11} & \cdots & \alpha a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \alpha \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

Рассмотрим определение определителя: $$\det A = \sum_{\sigma \in S_{n}} (-1)^{\sigma} \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$$ Заметим, что в каждом слагаемом будет присутствовать единственный множитель с $\alpha$, вынесем его за сумму. $\square$

Если в матрице есть нулевая строка (или столбец), то $\det A = 0$.

Аналогично предыдущему свойству, в каждом слагаемом будет множитель $0$, а значит $\det A = 0$. $\square$

При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Любая транспозиция изменяет четность перестановки, а значит каждое слагаемое в сумме изменит знак. $\square$

Если две строки (столбца) одинаковы, $\det A = 0$.

При перестановке этих строк определитель не меняется, но по свойству 4 должен поменять знак. Следовательно, ${} \det A = -\det A \implies \det A = 0 {}$.

Определитель не меняется при добавлении к одной строке другой, умноженной на скаляр

Пусть к $i$-й строке матрицы $A$ прибавляется $k$-я строка, умноженная на $\lambda$. Обозначим новую матрицу через $A'$. Тогда: $$ \det A' = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} + \lambda a_{k1} & \cdots & a_{in} + \lambda a_{kn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$ По линейности определителя по строке (свойство 7): $$ \det A' = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \lambda \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$ Первый определитель - это $\det A$, а второй равен нулю, так как содержит две одинаковые строки ($i$-ю и $k$-ю). Следовательно: $$ \det A' = \det A + \lambda \cdot 0 = \det A $$ $\square$

Если элементы $i$-ой строки представлены как сумма $a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}$, то: $$ \det A = \det B + \det C $$ где $B$ и $C$ - матрицы с заменой этой строки на $\{b_{ij}\}$ и $\{c_{ij}\}$ соответственно.

$$\begin{align} \det A &= \sum_{\sigma \in S_{n}} (-1)^{\sigma} \prod_{j=1}^{n} a_{j,\sigma(j)} \\ &= \sum_{\sigma \in S_{n}} (-1)^{\sigma} (b_{i,\sigma(i)} + c_{i,\sigma(i)}) \prod_{j=1, j\neq i}^{n} a_{j,\sigma(j)} \\ &= \det B + \det C \end{align}$$ $\square$

Если строки пропорциональны, $\det A = 0$

Следует из свойств 2 и 6. $\square$

Матрица называется **верхней (нижней) треугольной**, если ниже (выше) главной диагонали стоят 0. Если вне главной диагонали стоят $0$, то матрица **диагональная**.

Если $A$ — верхне-треугольная матрица порядка $n$, то $\det A = \prod\limits_{i=1}^{n} a_{ii}$.

По определению: $$\begin{align} \det A &= \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \\ &= \sum_{\substack{\sigma \in S_n \\ \sigma(1) = 1}} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} + \underbrace{ \sum_{\substack{\sigma \in S_n \\ \sigma(1) \neq 1}} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} }_{ \Large 0} \\ &= \sum_{\substack{\sigma \in S_n \\ \sigma(1) = 1 \\ \sigma(2) = 2}} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} + \underbrace{ \sum_{\substack{\sigma \in S_n \\ \sigma(1) = 1 \\ \sigma(2) \neq 2}} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} }_{ \Large 0} \\ &= \dots = \prod_{i = 1}^{n} a_{ii} \end{align}$$ $\square$ По Заметим что: (пусть нули ниже диагонали) Заметим что чтобы слагаемое не было нулем в 1 столбце нужно выбрать первую строку (иначе 0 и остальные множители не важны) Аналогично нужно выбирать 2 столбец 2 строку так как 1 строка занята, а остальные 0, и т.д получается произведение из элементов на диагонали, а если что-то выбрать другое то слагаемое обнулиться Также заметим, что так мы можем сделать только 1 раз, а значит других слагаемых нет $\square$

1. Разложение по строке $i$: $$ \det A = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}$$ 2. Разложение по столбцу $j$: $$ \det A = \sum_{i=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij}$$

** 1. Случай первой строки ($i=1$):** Каждое слагаемое в $\det A = \sum\limits_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}$ содержит элемент $a_{1j}$ для некоторого $j$. Для фиксированного $j$ слагаемые с $\sigma(1)=j$ имеют вид: $$ a_{1j} (-1)^{\sigma} \prod_{k=2}^{n} a_{k\sigma(k)} \quad{(\dagger)}$$ Пусть $\tau$ — перестановка индексов столбцов строк $2,\dots,n$ в подматрице, полученной удалением первой строки и $j$-го столбца. Тогда $(-1)^{\sigma} = (-1)^{j-1} (-1)^{\tau}$, так как $\sigma(1)=j$ порождает $j-1$ инверсий. В разложении минора $M_{1j}$ слагаемые имеют вид $(-1)^{\tau} \prod\limits_{k=2}^{n} a_{k\sigma(k)}$. Так как $(-1)^{j-1} = (-1)^{1+j}$ выражение преобразуется: $$(\dagger) = a_{1j} \left( (-1)^{j-1} M_{1j} \right) = a_{1j} (-1)^{1+j} M_{1j}$$ Суммируя по $j$, получаем: $$\det A = \sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{1+j} M_{1j}$$ ** 2. Случай произвольной строки $i$:** Пусть $A'$ — матрица, полученная из $A$ перестановкой $i$-й строки на первое место за $i-1$ транспозиций соседних строк. Тогда: $$ \det A = (-1)^{i-1} \det A'. $$ Разложим $\det A'$ по первой строке ($i$-й строке $A$): $$ \det A' = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{1+j} M'_{1j}, $$ Заметим, что $M'_{1j}$ совпадает с минором $M_{ij}$ матрицы $A$, так как удаляемые строки/столбцы идентичны. Значит: $$ \det A = (-1)^{i-1} \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{1+j} M_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}. $$ Аналогично доказывается разложение по столбцу. $\square$

Используем формулу разложения по $i$-й строке, но вычёркивать будем $k$-й строку, тогда: $$\sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{k+j} M_{kj} = 0$$

Запишем в строку $k$ элементы из $i$-й строки (можем так делать т.к. мы её вычеркнем, а минор не изменится). По [[Определитель и его свойства# 5. Равные строки|свойству 5]] такой определитель равен $0$. Значит: $$0 = \det A = \sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^{k+j} M_{kj} = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{k+j} M_{kj}$$ $\square$